倘若有人说: “我的一根头发丝上的点和宇宙空间的点一样多.”你可能认为他在说胡话.其实,只要挣脱“有限”概念的束缚,就会相信他的话是对的. 虽说人类早在两千年前就有了“无限”的认识,但真正接触无限本质的人并不多.可能是意大利科学家伽利略最早触及到实质的.他把全体自然数与它们的平方一一对应起来: 1, 2, 3, 4, 5, … 12, 22, 32, 42, 52, … 他发现,两串数一样多,将第二串数稍加计算会发现,它们都是第一串数中的数,而第一串数中有的数,第二串数中并没有,如2, 3, 5, ….可见第二串数是第一串数的一部分.部分怎么能等于整体呢?伽利略感到迷惑了,他至死也没弄清楚. 真正从本质上认识“无限”的,是年轻的德国数学家,29岁的柏林大学教授乔治•康托尔(G.Cantor, 1845年3月3日-1918年1月6日).他的出色工作,起于公元1874年. 康托尔的研究是从计数开始的.他发现人们在计数时,实际上应用了一一对应的概念.比如教室有50个座位,老师走进教室,一看坐满了人,不需点数,便可知道听课人数是50.倘若空了几个座位,立刻会知道,听课学生少于50,这是因为“部分小于整体”的缘故.然而,这是有限情况下的规律,对于无限情况,就像前面伽利略例子一样,部分可能等于整体!这,正是无限的本质! 经过深刻的思考,康托尔教授得出了一个重要结论: 如果一个量等于它的一部分量,那么这个量必是无限量;反之,无限量必然可以等于它的某一部分量. 接着,康托尔教授又引进了无限集基数的概念.他把两个元素间能建立起一一对应的集合,称为有相同的基数.例如,自然数集与自然数平方的数集有相同的基数.自然数集与有理数集也有相同的基数(康托尔有证明,略去). 由于自然数集的元素是可以从1开始,逐个点数的,所以凡是与自然数集基数相同的集合,都具备可数的特性.可见,可数集基数,是继有限数之后,紧挨的一个超限数. 还有无其他超限基数?有. 例如,图1能清楚地表明圆周与直线上的点能建立起一一对应,可见有限长圆上的点,与无限长直线上的点一样多. 图 1 更为神奇的是,单位线段内的点,能与单位正方形内的点建立起一一对应. 设单位正方形内点坐标为(α,β):α=0.a1a2a3… β=0.b1b2b3…令γ=0.a1b1a2b2a3b3…,则γ必为(0, 1)内的点. 反过来,单位线段内任一点γ*: γ*=0.c1c2c3c4c5c6…也对应着单位正方形内部的唯一一个点(α*,β*): α*=0.c1c3c5… β*=0.c2c4c6… 这样,就证明了,一块具有一定面积的图形上的点,可同面积为零的线段上的点一样多! 瞧!康托尔的“无限”理论是多么的奇特,多么的与众不同,又多么地与传统观念格格不入!难怪康托尔的理论从诞生的那一天起,便受到了习惯势力的抵制.有人甚至骂他是疯子.连他所敬重的老师,当时颇负盛名的数学家克罗内克(Kronecker, 1823-1891),也宣布不承认康托尔是他的学生! 精神上的巨大压抑,激烈论战的过度疲劳,终于超出了康托尔所能忍受的限度.公元1884年,康托尔的精神崩溃了!此后,他时常发病,并于1918年1月6日逝世于萨克逊州的一所精神病医院. 然而,历史是公正的.康托尔的理论并没有因歧视和咒骂而泯灭!如今康托尔所创立的集合论,已成为数学发展的基础.康托尔使人类从本质上认识了“无限”.人们将永远缅怀他的不朽功绩! 1月7日勾股定理起源之说 勾股定理是初等几何中最精彩、最著名和最有用的定理之一.关于这个定理的起源有各种说法. 西方人认为应归功于毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前580-前500年),并将此定理称为“毕达哥拉斯定理”,将其叙述为: “在任何直角三角形中,斜边上的正方形等于两个直角边上的正方形之和.”并把它列为数学史上第一个真正重要的定理,数学史上的里程碑. 毕达哥拉斯生在爱琴海上的萨摩斯岛.西方称他为数学史上留名的第二人,离数学史上留名的第一人泰勒斯的家乡--米利都不远.毕达哥拉斯比泰勒斯小50岁,住得又这么近,推测毕曾受教于泰.同泰勒斯一样,毕达哥拉斯在一个时期曾旅居埃及,后到各地漫游.据说到过印度,后来迁往希腊海港克罗托内,定居南意大利.在此,他建立了著名的毕达哥拉斯学园,这个团体既研究哲学、数学和自然科学,还是一个具有秘密仪式和严格戒律的宗教性组织.当这个团体的政治力量和贵族倾向正在逐渐增强时,被南意大利的民主势力摧毁了.毕达哥拉斯逃到了梅塔篷图姆,并卒于此地,享年80岁(又说75岁). 毕达哥拉斯学派热衷于研究整数,并认为整数是人和物各种性质的起因.他们揭示出了很多整数的复杂性质.并把包括本定理在内的一切发现都归功于他们的领袖毕达哥拉斯本人.据说毕氏为了表示感激,曾对神贡献了一百头牛,对此,古代诗人夏米梭写了如下十四行的赞美诗: 是他一位病弱的人, 最早认识了永存的真理. 毕达哥拉斯定理, 它亘古及今,代代相继. 感谢神灵的启示, 你奉了丰盛的圣祭. 把一百头活生生的公牛 赶进了圣光祥云之巅. 自真谛出现之日, 从此, 公牛不断地嘶叫. 嘶叫声无损真理的光明, 面对着毕氏的出现, 公牛只能闭目颤栗. 通过20世纪对于在美索不达米亚出土的楔形文字泥版书进行的研究,人们发现早在毕达哥拉斯以前一千多年,古代巴比伦人就已经知道这个定理. 在我国西汉或更早时期的天文历算著作《周髀算经》,其中第一章记述了西周开国时期(约公元前1000年)商高对于周公姬旦的回答: “故折矩以为勾广三、股修四、径隅五.”即“勾三、股四、弦五”.还有系统总结我国先秦到西汉初年数学成就的著作《九章算术》“勾股”中,从第1题到第14题都是运用这个定理解决的实用问题.因此,我们又把这个定理称为“勾股定理”或“商高定理”. 在印度的某些古代书籍中,也出现了这个定理.其年代至少也可追溯到毕达哥拉斯时代.1月8日毕达哥拉斯有多少学生 在古代有名的萨摩斯国,有位专制的国王叫波里克拉脱斯.有一次,该国王邀请当时的数学家毕达哥拉斯赴宴. 国王问毕达哥拉斯: “你带领了几个学生?" 毕达哥拉斯答道: “尊敬的萨摩国王: 请看,1/2的学生正在做着极有趣的数学;1/4的学生正在从事自然和长生不老奥秘的研究;还有1/7默默地按照我的教育在修身养性.全体学生中,只有三个小姑娘未参加如上活动,在这三人中,只有伊莎贝拉最出众.我只把这个学生带到永恒的真理之泉." 请问,毕达哥拉斯共有多少学生? 我们借助于方程来找问题的答案.