1－2章的数学问题

这书我刚开始看，我觉得写得挺清晰的，虽然我完全没学过经济学。p18的证明是正确的，因为C(B)非空，所以肯定存在某个y在里面，这个y当然也在B里，而上一段性质对所有y都成立，取这个y，用弱公里即得结论。

ls不知道凭什么说这种话，数学严密当然是必要的。否则推出一堆悖论看你怎么死。

可惜手头没这本书，否则可以来鉴定鉴定，哈哈

我来说一下，书里原来的符号是为了与张量分析的惯用表述相一致，偏导数就是零阶张量，这是一种在应用数学中的惯用表述。rudin的书只是数学系的一本惯用教材而已，它可以根据需要选用自己的表示法，不必太过认真。这一符号本身的优越性，只有在推广到高阶张量时才会显现，初等的数分书（比如rudin）里一般不用，严谨的书为了一步到位才会介绍它，可以看看amann。另一方面，物理学家学的数学要比经济类多很多，符号方面有点不足很正常，懂物理的话基本一目了然;我的意思是，不建议刻意追求数学严格，数学的适用与否多少是试出来的。

不，在你的推导里是有不一样的意思的，你的（3）式对X_n求导实际上并不是F这个函数对第n个变量求导，而是
g(t, x_1,...x_n,....x_N))=f(t*x_1,t*x_2, t*x_n)
这个N+1维函数对X_n这个变量求导。后面那像里头因为没有t,所以才是f这个函数的偏导。这是不一样的。

然而，如果d(f(tx1,...,txN))/dxn表示(df/dxn)|x=(tx1,tx2,...,txN)，那链式规则推导又说不通了啊

而且（3）式里d(f(tx1,...,txN))/dxn就只表示f在xn上的偏导，后头那项也表示在xn上的偏导，意义没什么不一样啊

我有点明白你的意思了，你觉得d(f(tx1,...,txN))/dxn实际上是(df/dxn)|x=(tx1,tx2,...,txN)，也就是你说的”在(t*x_1,...,t*x_N)这一点取值“

我想我已经想出来你用的那个符号有什么不妥了。在你的（3）式子中，按照你的用法，那个已经不是函数f对x-n的偏导数了，而是另外一个函数g(t,x_1，x_n)=f(t*x_1,t*x_2, t*x_n)的偏导数啦！所以，这样一来和后头那项所表示的意义就不一样啦。

呵呵，交个朋友，我QQ413524862

除了敬畏之心，也还得有怀疑之心吧。

这样推公式，我在Rudin的书里见不到，在国内好点的数分里也是见不到的。

我真想看看用其他符号系统如何解释我推的那个矛盾，因为我用的东西太基本了，这么基本东西放到其他符号系统难道会变得不一样？举个例证讨论下吧。

Anyway，我会把书评改一下，无论如何谢谢你找茬，你人挺好的。

这...所以我觉得不应该轻易说马斯克雷尔是错误的呀，只是个人的口味而已...，而且用习惯了以后可能就会发现它很好用呢。我觉得你并不算导出了矛盾，因为你是用你自己对那个符号的理解来推别人的理解的。我觉得做数学的人应该保持一颗敬畏之心，反复求证自己是不是理解有误。可能是我比较盲目崇拜权威吧，Mas-collel怎么说也算是位数理经济学家了，也发过好多数学文章了。我想他应该不至于（用你的话说）“误解了多元函数的链式法则”吧...

就像书里对向量和矩阵的转置都不标明以及内积和矩阵乘混用，感觉怪怪的，很容易出问题

反正我的口味不喜欢这种用法，因为我从中就轻易地导出矛盾，凡是不能自洽的逻辑，我就觉得有问题……

以前做论文的时候，看那些搞物理的人推公式是相当痛苦的，因为他们符号也是论用，而公式推导又不甚细腻。后来看史树中（凸规划的专家）《数学与经济》书里说，他不大看物理学家推的数学，因为看不懂他们怎么用的，我就发现原来不止我一个有这种感觉。

相比起来，我读过的经济学家写的东西里的数学推导流畅得多可靠得多，不过我还是觉得符号一乱，逻辑上就有出问题的可能。

微积分才出现的时候，符号用的也挺乱，那会没人能确切定义无穷小和极限究竟是怎么回事，才惹出第二次数学危机，被伯克莱主教看笑话。

逻辑系统首先必须自洽、正确，其次才能追求完备（当然，哥德尔证明了正确性与完备性不可兼得）。

以我的经验看来，马斯克莱尔书里的那种符号用法是严格的，它是我见得最多最常用的符号之一，我想你可能是比较少见人这么用吧。虽然我不觉得　http://myyn.org/m/article/derivative-of-homogeneous-function的符号怎么怪，但是即使这样，你看它最后一个式子，就会发现它用的符号和马斯克莱尔书中是一样的。

http://myyn.org/m/article/derivative-of-homogeneous-function/里的符号比较怪，我不大看得明白

http://www.economics.utoronto.ca/osborne/MathTutorial/HOM.HTM#p:HomDeriv 里写着：”t f'_i(tx1, ..., txn) = tk f'_i(x1, ..., xn)“。这样写是OK的。因为它没有指明对谁的偏导。

这么说，讨论的结果是符号表示问题。

不过，我觉得符号使用有必要严格起来，不然，我反证的那个问题也避免不了啊，我只用了四则运算和求导四则运算就找了个矛盾，这不是逻辑自洽的系统。

如果用这种记号，我想你应该是认可的：
http://www.economics.utoronto.ca/osborne/MathTutorial/HOM.HTM#p:HomDeriv
但是只要对马斯克莱尔的教材中记号有个正确的认识，这两个证明显然是一样的

我把问题排版的好看点来讨论，
　　
http://rapidshare.com/files/409298372/M.B.1.pdf
http://www.douban.com/photos/photo/562430387/
http://www.douban.com/photos/photo/562431492/
　　
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“有的作者可能会写作这样：df(tx1,...,txN)/d(t*xn),但意思都是一样的“
　　……
df(tx1,...,txN)/d(t*xn)和df(tx1,...,txN)/dxn根本就不一样，你仔细翻翻你看过的所有数分、高数，谁这么说过的？
　　
其次，就算不用链式求导，只用加法求导、数乘求导，我也从原文证明里导出矛盾来，这个解释下吧。

我手头没有书，我记得我第一次学的时候看那个符号也觉得它不好理解，后来老师和同学们都告诉我是那个意思。第一次见它应该是在吉米多维奇某卷里吧。我在网上找了些相近的，你可以参考参考，你可以看出你的3,4二式是对记号理解有些偏差的：
http://myyn.org/m/article/derivative-of-homogeneous-function/

哎，我觉得你根本没有认真看我的留言。我已经说了，书中df(t*x_1,...,t*x_N)/dx_n的意思是，f这个函数对第n个变量的偏导数，在(t*x_1,...,t*x_N)这一点取值。这是中习惯用法。有的作者可能会写作这样：
df(tx1,...,txN)/d(t*xn),但意思都是一样的，都是指的函数g()=(f的第n个偏导在(tx1,...,txN)这一点取值。
这个和你理解的是不一样的。从你的推导中：
df(tx1,...,txN)/dxn - d[t^r * f(x1,...,xN)]/dxn = 0（求导的加法法则） （3）
我看出你是这么理解的，你实际上是把f(tx1,...,txN)看成不光是X的函数，还是t的函数。我不是说你的理解有问题，你对链式法则的理解是绝对没有问题的。只是你对记号的理解不对。

@focout，什么是复合函数的链式求导法则？

参考
[1] 本书P1315，倒数第二段
[2] Rudin，《Principles of Mathematical analysis》，P214，Th. 9.15。

你没开窍阿，还做出高手状，怎么提醒你好呢……

这样吧。我这里给出证明，为什么P1317【定理M.B.1】的证明过程是错误的。欢迎大家来一起讨论（因输入字符限制，数学符号写的很难看，但意思差不离，以d表示偏导符）。
　　
**************P1317【定理M.B.1】的证明的部分译文原文***************
证明：给定某个t>0。由齐次性定义（定义M.B.1)可知
　　f(tx_1,...,tx_N) - t^r*f(x1,...,xN) = 0 （1）
这一表达式对xn求微分有
　　t[df(tx1,...,txN)/dxn] - t^r*[df(x1,...,xN)/dxn] = 0 （2）
*********************原文引用完**********************
　　
你看出这段推导的毛病来没？为了让你看懂，我不用什么复合函数链式求导，用求最简单的加法规则、数乘规则来演示出矛盾。
　　
*********************导出矛盾**********************
对式（1）两边求xn的偏导，得
df(tx1,...,txN)/dxn - d[t^r * f(x1,...,xN)]/dxn = 0（求导的加法法则） （3）
=>
df(tx1,...,txN)/dxn - t^r * d[f(x1,...,xN)/dxn] = 0（求导的数乘法则） （4）
　　
把式（4）与式（2）相减，得
df(tx1,...,txN)/dxn = t[df(tx1,...,txN)/dxn]
==>
df(tx1,...,txN)/dxn * [t-1] = 0
　　
f(tx1,...,txN)不恒等于0，则t=1，即t已经蜕化为常数了。但命题题设中，没有限定t是常数或f等于常数。矛盾了。
************************Q.E.D**********************
　　
我说他有问题，就推出个式子来，供大家琢磨。你要说它没问题，推一个公式解释一下，哪怕用极限定义演示一下，没有依据，空口白牙算什么阿。

还有，究竟是哪本教材那本数分居然这样教你求偏导的？你引用个文献例子阿，科学研究论据第一。
　　　　
说什么“不要怀疑”你的说法，这种作派非常不像所谓的“过来人”阿……还有，出来混，你的基础应该再打牢点。高手是练出来的，不是装出来的。

哎...这位同学，我想你应该不是学数学的。其实你对偏导数有些误解

df(t*x_1,...,t*x_N)/dx_n的意思是，F这个函数对第n个变量的偏导数，在(t*x_1,...,t*x_N)这一点取值。我希望你不要怀疑我这个过来人的说法，如果实在怀疑，可以去询问一下你认识的老师，或者数学系的的同学。如果没有，可以查证一下任何一本数学分析教材。其实，我初学偏导数的时候也和你的理解是一样的，后来问了别人才知道。

不过，如果你是学数学的，那就...

总之，你是个挺认真的人，向你学习！

df(t*x_1,...,t*x_N)/dx_n应该得到[df(t*x_1,...,t*x_N)/d(t*x_n)]*[d(t*x_n)/dx_n]=t*df(t*x_1,...,t*x_N)/d(t*x_n)吧，不是t*df(t*x_1,...,t*x_N)/dx_n，链式求导不这么玩的。

你再对比一下http://mathworld.wolfram.com/EulersHomogeneousFunctionTheorem.html和P1317这个定理的证明，前者把M.B.1和M.B.2一气推导完了，后者分成两部分，还在链式求导出问题。

不知你查的哪本教科书，如果是数分教材应该不至于这么不严谨。

附录的定理M.B.1的证明（P.1317）我实在没看出有什么问题，还请你赐教一下，本人自己学数分的时候做这个题就是这样做的，且经查证，所有教科书都是这么证的。多谢赐教！

数学不好还想通读全书的人飘过