一种提高解题能力的好玩而有趣的方法是，思考和解决趣味数学问题。
数百年来，趣味数学问题和游戏一直是人们的一个乐趣来源。许多问题的起源可以追溯到古代，《希腊诗文选》（The Greek Anthology）可能是第一部重要的问题集，其中收录了许多被认为由公元6 世纪的梅特罗多勒斯（Metrodorus）所整理的数学问题。之后许多问题集相继问世。在其中，法国数学家克劳德• 加斯帕尔• 巴谢• 戴梅齐利亚克（Claude Gaspard Bachet de Méziriac）的《关于数的有趣问题》（Problèmesplaisants & délectables qui se font par les nombres, 1612）是第一部印刷出版的值得注意的问题集。
然而，直到19 世纪晚期和20 世纪早期，趣味数学才广泛流行开来。这个时期不仅出版了许多相关书籍，还有美国人萨姆• 劳埃德（Sam Loyd）、英国人H. E. 迪德尼（H. E. Dudeney）的报纸专栏，使趣味谜题得到大众广泛关注。之后几十年里，这个趋势依然不减：美国人胡伯特• 菲利普斯（Hubert Phillips）的报纸专栏、比利时期刊《斯芬克斯：趣味数学问题月刊》（Sphinx: Revue Mensuelle des QuestionsRécréatives）、《美国数学月刊》（American Mathematical Monthly），以及许多书籍，继续在源源不断地提供大量趣味数学问题。
现如今的进展或可参阅《趣味数学期刊》（Journal of RecreationalMathematics）以及马丁• 加德纳的专著和他的《科学美国人》专栏。
尽管解决某些趣味数学问题需要一些特定的数学知识，但许多问题只需要一些基本推理技巧、专注和坚持，以及一点想象力和灵感。这些求解的技巧可以运用在各个领域帮助解决问题。
通过考虑下面的问题，我们来考察这些技巧中的一部分。
例题
例题1.1
考虑组织一场拳击淘汰赛。共有114 名选手参加，所以第一轮有57 对选手。在第二轮比赛中，57 名晋级的选手组合形成28 对，一名选手轮空晋级（即不用参加这一轮比赛）。获胜的29 人再次组合，依此继续。
(a) 需要进行多少场比赛以决出冠军？
(b) 如果有n 名选手参赛，一共需要进行多少场比赛？（n 是确定的整数，但未指明）
例题1.2
X、Y 和Z 女士（一个美国人、一个英国人和一个法国人，但顺序未定），三人坐在圆桌前打牌。每人传给坐在右边的人三张牌。Y 女士传给美国人三张红心。X女士拿了一张黑桃Q和两张方片给右边的女士，而这位女士把她的牌给了法国人。
美国人是谁？法国人是谁？英国人是谁？
例题1.3
Armand Alloway、Basil Bennington、Col. Carlton Cunningham、Durwood Dunstan 和Everett Elmsby 五位先生是德文郡马球俱乐部的高级会员。每人有一匹马，以其他四人中某人妻子的名字命名。
Alloway 先生的马叫Georgette，Cunningham 上校的马叫Jasmine，Elmsby 先生的马叫Inez。Francine 是Dunstan 先生的马，以Alloway 先生的妻子名字命名。Georgette 的丈夫的马以Bennington 先生的妻子名字命名。五名妻子中，只有Helene Cunningham 会骑马。
Jasmine 的丈夫是谁？谁的马叫Helene ？
例题1.4
Baker 先生（意为面包师）、Dyer 先生（意为染工）、Farmer 先生（意为农夫）、Glover 先生（意为手套商）、Hosier 先生（意为袜商）五位先生坐在圆桌前打牌。他们每人的名字分别是另外四人中一人的职业。染工坐在Hosier 先生左边第二个座位。面包师坐在Baker 先生右边第二个座位。农夫坐在Farmer 先 生左边。Dyer 先生坐在手套商的右边。
染工叫什么名字？（[51]，★ *问题36）
例题1.5
玩家A 和B 玩如下游戏。有一堆火柴，共有六根。每一轮，一名玩家必须从剩下的火柴中取走一根或两根，取走最后一根火柴的玩家胜。A 先行，两人都采取最佳策略。
谁会获胜？
例题1.6
图1.1 表示铁轨和上面的火车头和两节车厢。车厢B 从传送带装满了煤，车厢A 是空的。隧道可容车厢通过，但火车头L 不能通过。另外，每节车厢都比隧道长，所以在隧道中时，车厢两端都可以连接火车头。
火车头可以推动或拉动车厢。有什么办法可以交换两节车厢的位置，并使火车头仍在两节车厢中间？
图
对于(a) 问，你是否用了如下办法对比赛场次计数？
第1 轮：57 场比赛，57 名选手晋级
第2 轮：28 场比赛，29 名选手晋级
第3 轮：14 场比赛，15 名选手晋级
第4 轮： 7 场比赛， 8 名选手晋级
第5 轮： 4 场比赛， 4 名选手晋级
第6 轮： 2 场比赛， 2 名选手晋级
第7 轮： 1 场比赛， 1 名选手获得冠军
因此需要进行57 + 28 + 14 + 7 + 4 + 2 + 1 = 113 场比赛。
★ 参见参考文献（第342 页）相应编号的文献。
例题1.1 的解答
如果用的是这种方法，你已经正确解出了(a) 问。
同样的办法能否回答(b) 问呢？还不能直接给出解答。
还有没有其他方法？试着采取另一种思路。
再次考虑(a) 问。最终只会有一名选手获得冠军，要淘汰113 名选手，因此需要进行113 场比赛。
这种方法看起来更简单，但对于(a) 问，两种方法都能正确解答。第二种方法的好处是可以直接用于(b) 问：要淘汰n−1 名选手，所以要进行n−1 场比赛。
从这个例子中我们学到了什么？一个问题经常有多种思路。有时多种方法能得到同样的解，而有时只有一种能正确解答。但即使多种方法都能解答，可能其中也有一种更简单或更合适。（随着你的解题经验增长，对于一个问题你可能会找到不同的解答，可以比较它们从而选出看起来最优雅的一个。）
从这个角度看，解答一个问题就好像寻找走通迷宫的路线。也许有多条路线通往目标，但其中可能有最短的一条。
另一方面，也可能只有一条正确的路线，其他路线只会把你带进死胡同。类似地，某个特定问题的几种思路或许都会让你陷入僵局。
通常在迷宫入口，没办法预先知道哪条路是正确的。尝试走一条路，如果走进死胡同，或发现自己在兜圈子，我们就退回到入口尝试另一条路。★*类似地，也没有什么万能法则能帮助我们解决所有问题。一种思路看起来没有希望，我们尝试另一种。由于迷宫中只有有限条路线，通过许多次尝试最终总会走通。然而不幸的是，对于解题，并不是所有路线都一目了然。虽然有时思路比较明显，但一个人解决问题的能力常常取决于他发现“隐藏路线”的能力。
然而另一方面幸运的是，解题相比走迷宫也有些重要的有利条件。站在迷宫里，我们只能看到身边的路，看不到每条路将通往哪里。而当我们试图解题时，通常可以看到问题全貌——也就是说，可以俯视整个问题，而不是只能站在其中。纵观整个问题，可以获得更深入的理解。
另外，我们能发现相似的问题，利用已有的经验。如果一个问题让我们想起另一个解决过的问题，可以先尝试原来的技巧。所以经验越丰富，面对新问题的胜算越大。
★ 解决迷宫有系统性的方法，例见[13]，第127–137 页。
虽然不存在万能法则，在尝试解答过程中还是有一些基本技巧的。不过在讨论这些之前，你应该再 次尝试几个例题，并注意你的思考过程。哪些技巧是成功的？在哪里会遇到困难？
尝试解答例题1.2 和1.3（第2 页）。
既然你已经思考过这些问题，并且可能已经解决了，现在我们就以这些问题为模板讲解一些解题技巧。
在例题1.2 中，我们知道如下条件：
1. 每人把牌发给坐在右边的人。
2. Y 女士把牌给了美国人。（在这里，三张红心并不重要。）
3. 拿到X 女士牌的人，把自己的牌给了法国人。
我们怎样利用这些条件呢？
画图是很有帮助的。Y 女士把牌给了美国人，所以她不是拿到X 女士牌的人（图1.2）。拿到X 女士牌的人把自己的牌给了法国人（图1.3）。
图
X 女士把牌给Y 女士了吗？比较图1.2 和1.3，显然不是这样。因此，X 女士把牌给了Z 女士（图1.4）， 而Y 女士是法国人（图1.5）。
图
再比较图1.2，我们知道X 女士是美国人（图1.6），而Z 女士只能是英国人（图1.7）。
图
这个问题的解答相对简单。只要列出所知条件，直接得到一些结论。再画几张图，确认三人身份就很容易了。在列出解决这个问题的步骤之前，先考虑例题1.3（第2 页）。
例题1.3 的解答
我们先把问题给出的条件列出来：
1. Alloway 先生的马叫Georgette。
2. Cunningham 上校的马叫Jasmine。
3. Elmsby 先生的马叫Inez。
4. Dunstan 先生的马叫Francine。
5. Francine 与Alloway 先生是夫妻。
6. Helene 与Cunningham 上校是夫妻。
7. Georgette 的丈夫的马以Bennington 先生的妻子名字命名。
8. 每个人的马以另外某人妻子的名字命名，而不以自己妻子的命名。
这里列一张表会有帮助——每行写下一位先生的名字、马的名字以及妻子的名字。再注明是从哪个条件知道的，我们得到图1.8。
图
注意到为了把条件7 得到的信息列进表里，必须用X、Y 这样的字母代表还未确定的人。（这类似代数中用字母表示未知量。）在图1.8 中，X 先生是Georgette 的 丈夫，Y 代表Bennington 先生的妻子，也是X 先生的马的名字。
我们观察可得到：
Bennington 先生的马只能叫Helene，因为表格中马的一列其他四个名字已经被占据了。
X 先生不可能是Cunningham 上校，因为后者和Helene 是夫妻而X先生的妻子是Georgette。
因此，又由于Cunningham 上校的马叫Jasmine，X 先生的马叫Y，所以Y 不会是Jasmine。
Y 也不会是Francine 或Helene，因为Y 是Bennington 先生的妻子，而Francine 和Helene 都不是。
Y 还不会是Georgette， 否则的话，Georgette 的丈夫的马叫Georgette，而这与条件8 冲突。
于是只剩下唯一的可能，Y 是Inez。而Inez 也是X 先生的马的名字，所以X 先生一定是Elmsby 先生。
现在我们可以补全表格了，得到图1.9。排除不符合的情况，我们发现Jasmine 是Dunstan 先生的妻子。
图
例题1.3 的另一种解答
图
另一种方法，我们用图1.10 那样的表格。A、B、C、D 和E 是五位先生名字的首字母，F、G、H、I 和J 是五位妻子名字的首字母。每当确认两人是夫妻，在表格相应的行和列相交处打勾；确认两人不是夫妻，则打叉。每次打勾时，相应的行和列其他位置就可以打叉了，因为夫妻是一一对应的关系。记住这点，根据条件5 和6，我们可以画出图1.11。
另外根据条件3，我们知道E 与I 不是夫妻；由条件7 可知，B 与G 不是夫妻。（否则B 的马与B 的妻子同名，与条件8 矛盾。）于是得到图1.12。然而现在我们似乎遇到了困难，条件7 还没有利用。但应该怎么用呢？由于在图1.12 中Georgette 的丈夫只有两种可能，我们试试假设其中一个会是怎样的情形。
假设Georgette 嫁给Dunstan 先生。于是根据条件7，Dunstan 先生的马与Bennington 先生的妻子同名。但我们知道Dunstan 先生的马叫Francine（条件4），而Francine 不是Bennington 先生的妻子（条件5），得到矛盾。看来Georgette 与Dunstan 先生不会是夫妻。
注意到当假设推出矛盾（也就是说，假设某陈述成立，推出的结论与已知条件矛盾）时，那么假设一定是错误的。所以之前的假设一定不成立。
把新的信息补充进表，见图1.13。
我们看到，Georgette 的丈夫现在只有一种可能，即Elmsby 先生。因此，在E–G 格打勾，E–J 格打叉。
再次使用条件7，Elmsby 先生的马以Bennington 先生的妻子命名。但Elmsby 先生的马是Inez，所以Bennington 先生的妻子是Inez。再次补充表格，得到图1.14。
现在，在B–J 和D–I 格打叉，D–J 格打勾。
于是我们得到相同的答案：Jasmine 与Dunstan 先生是夫妻。
图
作为最后一步，不管采用的是什么方法，都要验证最终结论，以确保与已知条件没有矛盾。
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