黎曼猜想漫谈[试读]

一 随着公众数学水平的逐渐提高，愈来愈多的人知道黎曼（Riemann）猜想这个问题，我们将它记为RH。特别是RH曾被希尔伯特（Hilbert）列入他的二十三个问题的第八问题，现在又被列为克莱数学研究所提出的千禧年七大待解决难题之一，备受关注。不少人已经知道RH是数学中第一号重要问题。 但RH是个什么问题？为什么重要？至今似未见一篇有相当深度的普及文章来加以解释，常常需要参见数学专业著作与文献，才能得知一些。因此，一般人恐怕仅仅只知道有这么一个问题而已。 卢昌海在《数学文化》上的六期连载文章《黎曼猜想漫谈》，对RH相关问题作了详细的解释。文章中关于数学的阐述是严谨的，数学概... 查看全部[ 《黎曼猜想漫谈》读后感（代序）——王元 ]

让我们从一则小故事开始我们的黎曼猜想（Riemann hypothesis）漫谈吧。这则故事来自与哈代相识的匈牙利数学家波利亚（George Pólya，1887—1985）。故事大约发生在20世纪30年代，当时英国有位很著名的数学家叫做哈代（Godfrey Hardy,1877—1947），他不仅著名，而且在我看来还是两百年来英国数学界的一位勇者。为什么这么说呢？因为在17世纪的时候，英国数学家与欧洲大陆的数学家之间发生了一场激烈的论战。论战的主题是谁先发明了微积分。论战所涉及的核心人物一边是英国的科学泰斗牛顿（Isaac Newton,1642—1727），另一边则是欧洲大陆（德国）的哲学... 查看全部[ 一、 哈代的明信片 ]

那么这个让上帝如此吝啬的黎曼猜想究竟是一个什么样的猜想呢？在回答这个问题之前我们先得介绍一个函数: 黎曼ζ函数（Riemann ζ function）。这个函数虽然挂着德国数学家黎曼（Bernhard Riemann，1826—1866）的大名，其实并不是黎曼首先提出的。但黎曼虽然不是这一函数的提出者，他的工作却大大加深了人们对这一函数的理解，为其在数学与物理上的广泛应用奠定了基础。后人为了纪念黎曼的卓越贡献，就用他的名字命名了这一函数。远在黎曼之前，黎曼ζ函数（当然那时还不叫这名字）的级数表达式就已经出现在了数学文献中， 但正如我们在正文中所注，那级数表达式的定义域较小，即只适用于复平面上R... 查看全部[ 二、 黎曼ζ函数与黎曼猜想 ]

在黎曼的论文发表之后的最初二三十年时间里，他所开辟的这一领域显得十分冷清，没有出现任何重大进展。如果把黎曼论文的全部内涵比作山峰的话，那么在最初这二三十年时间里，数学家们还只在从山脚往半山腰攀登的路上，只顾着星夜兼程、埋头赶路。那高耸入云的山巅还笼罩在一片浓浓的雾霭之中，正所谓高处不胜寒。但到了1885年，在这场沉闷的登山之旅中却爆出了一段惊人的插曲: 有人忽然声称自己已经登顶归来！ 这个人叫做斯蒂尔切斯（Thomas Stieltjes，1856—1894），是一位荷兰数学家。1885年，这位当时年方29岁的年轻数学家在巴黎科学院发表了一份简报，声称自己证明了以下结果: M(N... 查看全部[ 六、 错钓的大鱼 ]

在20世纪的数学家中，赛尔伯格是非常独特的一位。当数学的发展使得数学家之间的相互合作变得日益频繁的时候，赛尔伯格却始终维持了一种古老的“独行侠”姿态——他所走的是一条独自探索的道路。赛尔伯格于1917年出生在寒冷的北欧国家挪威。年少的时候，他常常独自静坐在他父亲的私人图书室里阅读数学书籍。那段经历与他后来近乎孤立的研究风格遥相呼应。就在那时，他接触到了有关印度数学奇才拉马努金的故事。那些故事，以及拉马努金的那些有如神来之笔的奇妙公式深深地吸引了他。随着阅读的深入，赛尔伯格自己的数学天赋也渐渐显现了出来。他十二岁开始自学高等数学，十五岁开始发表数学作品，而到了二十岁那年，他已经 可以对... 查看全部[ 二十五、 数学世界的独行侠 ]

在前面各章中，我们介绍了数学家们在证明黎曼猜想的漫长征途上所做过的多方面的尝试。这些尝试有些是数值计算，它们虽然永远也不可能证明黎曼猜想，却有可能通过发现反例而否证黎曼猜想——当然，迄今为止并未有人发现反例；有些则是解析研究，它们具有证明黎曼猜想的潜力，但迄今为止距离目标还很遥远。如果小结一下的话，那么这两类尝试虽然很不相同，却都可以被归为直接手段，因为它们的目标都是黎曼猜想本身。 既然这两类直接手段都遇到了困难，那我们不妨来问这样一个问题: 除这些直接手段外，还有没有别的手段可以帮我们研究黎曼猜想，或至少带给我们一些启示呢？ 答案是肯定的。 事实上，黎曼猜想虽然... 查看全部[ 监狱来信 ]