数学世界漫游记——第〇章 数字之前

走进皮埃尔皮克巴黎狭窄的公寓，我怔住了，臭气熏天的驱蚊器，让我受不了。皮克刚刚从亚马逊热带雨林回来，在那里，他和印第安部落的朋友相处了五个月之久。现在，他正在给带回来的礼物消毒。书房的墙上，随处可见远古的部落面具、长毛头饰 和花边竹篮。书架上堆满了专业学术的书籍。窗台上放着一个还没有解开的魔方。 我问，皮克，旅行如何？ “艰难。”他回答道。 皮克是一个语言学家。可能正是因为这一点，他说话时总是慢条斯理，过度咬文嚼字。虽然，他已经五十多岁，看上去还是很孩子气，他有一双明亮的蓝色眼睛，面色红润，有着一头柔软却凌乱的银发。他声音低沉，态度很热情。 师从美国杰出语言学家乔姆斯基，皮克现在为法国国家科学研究中心工作。近十年来，他一直潜心研究蒙杜鲁库人。蒙杜鲁库人是南美洲印第安人的一支，一共约七千人，他们生活在亚马逊河流域，在巴西境内。他们所聚居的地方是雨林地区，面积为威尔士国土面积的两倍。蒙杜鲁库人聚居在绵延的小村落里，依靠狩猎和采集生活。皮克对蒙杜鲁库人的语言特别感兴趣。蒙杜鲁库人的语言没有时态，没有复数名词，也没有超过“5”的数字。为了实地考察，皮克开始了一段旅程，堪称一次伟大的探险。距离印第安部落最近的机场在500英里外的圣塔伦。从那里沿塔巴赫斯河航行15小时，大约200英里，才能到达蒙杜鲁库。这里是曾经让淘金者疯狂的小镇，也是皮克旅程的最后补给站。上一次，他在蒙杜鲁库租了一辆吉普车，带上必备的电脑、太阳能板、电池、书籍，还有120加仑汽油，沿着横贯亚马逊的高速路行驶。这条公路是七十年代修筑的国道，非常华而不实，现在已经十分衰败，变成了一条不好走的泥泞小道。 皮克此行的目的地是杰可瑞卡加，那里距蒙杜鲁库有200多英里。我问他，开车去那要多久。“说不准，”皮克耸耸肩，说道，“可能要一辈子，也可能只要两三天。” “那这次呢？”我追问道。 “你知道，你永远无法了解具体的时间，因为每次都不一样。如果一切顺利……在雨季，应该差不多十到十二小时吧。” 杰可瑞卡加位于蒙杜鲁库人群居区域的边缘地带。皮克在那等待印第安人，和他们协商是否可以用独木舟载他进入蒙杜鲁库人的领地。 我十分好奇，又询问道：“你等了多久？” “我等了挺久的。不过还是一样，别问我具体多久。” “所以你花了好几天时间？”我试探地询问道。 他皱了皱眉，迟疑片刻说道：“大概，两个星期吧” 离开巴黎一个多月后，皮克终于到达了目的地。当然，我也很想知道，从杰可瑞卡加到那些印第安人的村落具体需要花费多少时间。 不过，皮克现在显然对我查户口式的提问很不耐烦，“我说过了，说不准！” 我执著的问：“那这次呢？” 他吞吞吐吐的回答：“我不知道呀。我想……可能……两天……一天一夜……” 我越是追问皮克具体的数字，他越是不情愿告诉我。我开始激动起来，不明白他极不情愿的态度是否潜藏着法国人特有的不妥协精神，或者可以说是一种学术的严谨性，要不只是一般的逆反心理。我不再询问，我们开始说点别的。几个小时之后，我们都谈到了一种感觉，那就像待在一个不明之地很长时间，突然回到家一样，忽然，皮克打开了话匣子：“当我从亚马逊回来的时候，我好像没有时间和数字的概念，甚至没有空间的感觉。”他说，回来之后他经常忘记各种约定，还会被简单的方向问题搞得晕头转向。“我很难再适应巴黎的生活了，城市中有各种转角和直线，都让我难以适应。”皮克的叙述中没有任何定量的数据，他所产生的困扰一部分来自不同文化的冲击。在原始部落中，他长期和一些不能数数的人待在一起，使得他已经不能用数字来思考大千世界的万物。 虽然没有人知道确切的答案，但是，数字的存在不超过一万年的时间。这里，我所说的数字是关于数字的术语和符号。 算术又变得流行起来。三十年前，第一个廉价电子计算器的突然诞生，葬送了广泛运用的心算技巧，心算的倒退愈演愈烈。报纸上每日数学难题、带有算术难题的流行计算机游戏，使人们的头脑变得更敏锐，而且（在更高层次上）快速计算国际锦标赛每年都有。由德国计算机科学家拉夫•劳在2004年创立了心算世界杯，每两年举办一次。无疑，拉夫•劳的两大爱好：心算和收集特别的世界纪录（比如，在一分钟之内，将葡萄扔到15英尺远，并用嘴接住的世界记录，世界记录是55个）。英特网帮助他认识了很多拥有相同爱好的人——一般，心算者们都不是很外向。在世界范围内，计算者或“数学参赛选手”从世界各地来到莱比锡，有不少选手来自秘鲁、伊朗、阿尔及利亚或澳大利亚。 你如何评判计算能力？拉夫•劳采用吉尼斯世界记录的分类法——将两个8位数相乘，两个10位数相加，将六位数的平方根提取成8个数字，找到1600和2100年份之间任何一周的某一天。最后一项被称作日期计算，好像倒回到快速计算的黄金时期。当时，参赛者会问在场的一名观众生日日期，参赛者将立即说出日期是星期几。 参赛规则是比赛的灵魂所在，可能因为复杂的参赛规则，比赛失掉不少戏剧效果。最年幼的世界杯参赛者是一名来自印度的11岁男孩，他表演了“空气算盘”——他的双手在想象的算盘上快速地拨弄着，保持绝对安静，他时不时地写下计算结果。（比赛结果规定，只能写下最终结果。）8分钟25秒之后，西班牙人克多挥舞着手臂，就像一个兴奋的孩童。38岁的克多在短短的时间里，已经算完了10道两个8位数相乘的题目，他破了世界记录。这个成绩的确令人叹为观止，看着他就像担任监考工作人员一样令人兴奋。 然而，在所有缺席莱比锡世界杯的参赛者中，最著名的一位要数法国学生阿列克西•勒梅尔，他更希望用别的标准衡量自己的计算能力。2007年，勒梅尔27岁的时候，在伦敦科学博物馆得到了国际瞩目，他只用了70.2秒计算出13次平方根： 85,877,066,894,718,045,602,549,144,850,158,599,202,771,247, 748,960,878,023,151,390,314,284,284,465,842,798,373,290, 242,826,571,823,153,045,030,300,932,591,615,405,929,429,773, 640,895,967,991,430,381,763,526,613,357,308,674,592,650,724, 521,841,103,664,923,661,204,223 毫无疑问，勒梅尔的成绩更加令人惊叹。有200位的数字，可能用70.2秒都不能完全念完所有数字。那么，是否正如他所声称的一样，他就是前所未有的最了不起的快速计算者了呢？这在计算界是一个备受争议的事，回想200年前，科尔伯恩和乔治•彼得间的对局，在他们各自擅长的领域表现的很出色。 “13次平方为a”指的是，一个数字与自己相乘13次后，得到a。只有部分数字自乘13次后，能够得到200位数字。（答案是一个数目巨大的定数，在400兆左右，都是16位的数字，以2开头。）因为，13是个重要的数字，同时也被认为是个不吉利的数字，勒梅尔的计算法带有神秘气息。事实上，数字13确有它独特的优势。比如，2被连续相乘13次后，答案结尾仍然为2。数字3被连续相乘13次后，答案结尾还是3。这个规律同样适用于数字4、5、6、7、8、9。换句话说，任何数连续相乘13次后，答案的尾数都是原来数。那么，我们就轻易得到答案的尾数了，根本不需要任何计算。 勒梅尔有其一套算法，从未向任何人透露过，可以用于14个数字相乘的计算。纯粹主义者们也许会说，他的技巧不是计算的天赋，更像是记住一长串数字的方法。他们还指出，勒梅尔不可能立即算出任何200位数字的13次根。在伦敦科学博物馆，给他几百个数字，让他随意选择一个计算。 勒梅尔的表现可以和过去传统舞台速算者的表现媲美。观众只能惊呼“哇！”，而来不及去理解计算过程。相反的，在心算世界杯上，克多面对乘法运算29513736×92842033时，没有任何别的方法或隐藏技巧，他只是使用简单的1到9的乘法表。计算两个8位数相乘的最快方法是使用印度经文规则“垂直和横向”，将原来运算破解成64个个位数乘法运算。结果，他平均只用不到51秒就得到正确答案。知道了他是如何解答这道题之后，好像看上去也没有那么难，尽管64道个位数乘法运算的确是一个艰巨的任务。 我和莱比锡的参赛选手们聊天，发现他们中很多人因为维姆•克莱因而迷上了速算，克莱因是一位荷兰速算者，在1970年代很有名气。克莱因曾在马戏团和音乐厅工作多年，在1958年，他被欧洲顶尖的物理学会聘请，在日内瓦的欧洲粒子物理研究所工作，为物理学家们作复杂的快速计算。或许，他是最后一位受聘的人类快速计算者。随后，计算机的发展使得他的天赋变得不那么重要。他从研究所退休后，又回到演艺圈，经常出现在电视节目中。（实际上，克莱因是推行13次根计算法的第一人。） 在克莱因之前的一个世纪，有一个速算者名叫达瑟，同样受聘于一家科学研究机构，帮助他们速算。达瑟出生在德国汉堡，在他青少年时代就开始速算表演，他受到当时两位杰出的数学家的照顾。早在电子和机械计算出现之前，科学家们一直以来使用对数表解决复杂的乘除法运算。之后，我会详细解释，每个数字都有对数，需要经过计算分数相加的艰难过程。达瑟计算了前1005000个数字的自然对数，每个数字保留7位小数，他花了3年时间，完成整个工作，他说他很享受这项工作。之后，在数学家高斯的推荐下，达瑟又开始另一项艰巨的任务：编辑从7000000到10000000之间的所有数字的因子表。也就是说，他把每个数字看作有一定范围，计算它的因子，即用任何数分解这个数字。比如，7877433有两个因子：3和2625811。当达瑟37岁去世时，他完成了相当大的一部分运算。 除了以上这些艰巨的计算任务之外，还有一项计算让达瑟名垂千史，当达瑟还是孩子的时候，他就将圆周率计算到200位之多，在当时可以算最高纪录。 在自然界中，“圆”无处不在——你可以看到圆圆的满月，人类和动物的眼睛的瞳孔也是圆的，一只鸡蛋的横截面也是圆的。将一只狗拴在一根木棍上，狗拉紧绳子绕着木棍溜达时，也是绕出一个圆。圆是最简单的二维几何形状。当一个埃及农民计算在一个圆形田地里可以种多少稻谷时，或者当一个罗马技工估测多长的木头做成车轮时，他们都必须计算“圆”的问题。 古人们早已认识到，无论你画多大的圆，圆周和直径的比率总是一定的。（圆周是围绕圆的周长，直径是穿过圆的最长直线。）圆周率被称作PI,或者π，它的大小略大于3。所以，如果你将一个圆的直径取出，围绕这个圆的圆周，你将发现，周长大概是直径的3倍多一点。