影响数学发展的20个大问题——摘录：从数学的意义是什么到数的漫长旅程

1 数学的意义是什么？——关于目标和前景的介绍 1 1 数学的意义是什么？ ——关于目标和前景的介绍 了21世纪，数学已成为一门广阔而多层面的学科。她涵盖 的活动类别是如此宽广，看起来几乎不可能将其种种表现 归类于单一学科之中。一方面，她界定了诸如计数、时间和金钱等 使日常生活得以运转的事务的基本要点，而另一方面，她看来就像 一个密封的世界，在那里，一些不食人间烟火的伟大头脑炮制着无 比复杂的谜题——接着他们再经年累月地尝试着去解决那些谜题。 与此同时，我们的政治家们一如既往地宣称着：我们需要更多的数 学家。那么，所有这些数学究竟有什么意义，她又是如何融入我们 这个世界的呢？ 我们今天所看到的数学根植于早期计数文化，其源头可追溯至 大约公元前3000年。当然，数学一开始时只是用来处理实际问题。 诸如市场商贸、税款支付、土地丈量、仰观星辰和历法设计等问题 都要应用到数字、计算和某些基础的几何知识。但是过了大约一千 年，埃及人开始研究他们所使用的数字系统的性质，而不大考虑是 否具有明显的应用价值。他们还出于好奇心与智力上的愉悦感而创 造数学谜题，就像我们今天享受报纸上的那些数独游戏一样。数学 开始关注自身，数学家由此而产生。 到 1 数学的意义是什么？——关于目标和前景的介绍 2 大约公元前500年时，古希腊人在数学方面实现了巨大的跨越， 一种真正具有数学思想的文化繁荣发展起来。他们的著作影响了其 后的各个时代，直到今天仍为我们所研究。数学被视为最有用处的， 因而成为正统教育中的固有组成部分。毕达哥拉斯、柏拉图、阿基 米德和欧几里得只是那些推崇数学并影响后世千百年的希腊先贤中 的一部分代表人物而已。 基督教时代的前几个世纪是倒退时期，那些热衷于数学的人会 发现他们被驱逐到了文化世界的边缘。大约在公元400年时，希波 的圣奥古斯丁提出“一个好的基督徒应该提防数学家和那些作出空 洞预言的人”，谴责他们签订了“与魔鬼之间的契约，去蒙昧人们 的心灵，将人们束缚于地狱的枷锁之中”。在那个年代里，与数学 家这个词紧密联系在一起的是占星术士的邪恶行径，人们认为数学 在潜在意义上是邪恶的异端主张，这种猜忌使数学在很长时间里毫 无进展。 在16世纪，哲学家弗朗西斯•培根哀叹“纯粹数学之出色用 途”仍未为人透彻地理解，不过有一件事标志着情况开始好转，伽 利略获得了帕多瓦大学的数学教授职位。伽利略与罗马天主教之间 的冲突（即教廷对他的某些发现的抵制）表明，当时的人们对于数 学以及数学对物理学和天文学的影响作用的接受程度仍是很有限 的。但是到了17世纪晚期，一场数学与科学的变革发生了，主角是 伊萨克•牛顿和他的同时代者，他们永久性地改变了文化世界中的 力量平衡。18世纪末和19世纪初的浪漫主义者可能会指责这种新的 世界观，威廉•布莱克也许会嘲讽牛顿，但是作为科学的语言，数 学已前途无忧。19世纪，数学系在各地大学中陆续设立，大批新颖 而有挑战性的研究著述不断涌现。数学从此得到普遍认可。 1 数学的意义是什么？——关于目标和前景的介绍 3 实用性与纯粹性 关于数学有一种广为人知的争论，即究竟是实际需求孕育了数 学创造，还是新的数学知识给实际应用创造了机会。从历史的角度 来看，对实用性的考虑是数学发展的驱动力，但是当这门学问的内 在生命开始萌发后，“纯粹的”数学思维就有可能独自为新的应用创 造空间。好的数学基本上都具有应用潜能，但是你绝对不知道应用 的时刻会在什么时候来到。敏锐的洞见也许会在下个星期出现，但 也可能沉寂达50年甚至500年之久。 在数学发展的历史长河中，遍布着纯数学理论找到实际应用的 例子。古希腊人精心建立了圆锥曲线的理论，后来人们发现，这正 是17世纪时约翰尼斯•开普勒与伊萨克•牛顿断言行星以椭圆轨道 运行时所需要的工具。多维数组的理论（矩阵代数）是在19世纪50 年代为处理数学内部问题而建立起来的，而它恰好就是70年后快速 发展的量子理论中的“矩阵力学”所需要的。而当乔治•布尔建立 一个将逻辑转化为代数（即布尔代数）的系统时，他也绝对无法想 到，他为一个世纪之后的计算机编程提供了语言载体。 就在50年前，富于影响力的英国数学家哈代还曾写道，他在从 事数学研究时不会受限于必须为其思想找到“实际用处”的想法。 事实上，令他感到欣慰的是，那时的数论仍是远离实际应用的。但 是今天，他可能已无法再称许这种隔离状态，因为在这个世界中， 他的纯数学对于计算机安全领域来说具有极其重要的意义（见第14 章和第20章）。今天我们有很多种关于维度的理论，但是当曼德尔布 罗特在20世纪70年代中致力于“分形”研究时，大概很少有人会猜 测出它们的潜在应用（见第12章）。 但是数学家确实也是在意需求的。在18世纪，詹姆斯•瓦特遇 1 数学的意义是什么？——关于目标和前景的介绍 4 到了如何将蒸汽机中活塞的直线运动转化为旋转运动的问题，其结 果是工业革命期间诞生了几何联动理论。当第二次世界大战需要密 码破解者时（见第14章），拥有非凡才能的数学家从众多大学应征而 来，结果是世界上第一台电子计算机的建成。 因此，纯粹数学与应用数学之间始终保持着一种共生关系，在 电子时代，这一点更是显得格外真实。没有数学，计算机将一无是 处，数字摄影技术根本不会出现，手机也将进入沉寂的世界。但是 今天，职业数学家的“纯粹”研究也将大大受益于计算机的计算能 力：这次轮到“应用数学”反哺“纯粹数学”了。 数学还有自我意识的一面，即她在哲学层面上反思自身的一面。 关于这方面的历史呈现出这样一种发展历程：从古希腊人所认为的 数学家揭示的只是早已存在的真理，到关于数学家角色的一种更为 精巧的定位，其中涉及创造性和想象力（见第19章）。 在现代数学中，知识发展的基础在于公理和逻辑演绎。古希腊 人预设了他们的公理的真实性，而今天的数学家则只期望公理是相 容的。20世纪30年代，库尔特•哥德尔给数学带来了冲击，他证明 了“不完备性定理”，这个定理指出，在一个形式化的公理系统中， 某些数学命题在只使用该系统公理时既不能证明也不能证伪。换言 之，当今数学中可能存在着不可证明的真理，因而也许只能保持现状。 尽管现代数学可以说是广袤而丰富的，其根基仍可如学校课程 中那样划分为算术、代数和几何等分支。那么，它们的核心是什么？ 它们又将向何处去呢？ 数及其特性 在数学的保留节目单中，用以计数的数字始终保持着最为重要 1 数学的意义是什么？——关于目标和前景的介绍 5 的地位，它们是所有数学家的起点。它们的演变历史可谓丰富多彩 （见第2章），毫无疑问，我们最终使用符号0~9来表示的“以10为基” 的系统并不是必然的。比如，最开始时并没有0。 质数（只能被自身和1整除的数）的特性是非常让人着迷的研究 对象。我们仍不清楚它们在计数数中是如何分布的，考虑到我们认 识质数已超过2000年之久，这一点几乎是难以置信的（见第3章和第 20章）。除了计数数和其中的质数之外，在几个世纪中这份节目单就 扩展到还包括负数、分数以及通常所称的“无理数”，即无限不循环 小数。所有这些合在一起，便是数学家所说的“实数”（见第4章）。 数的内容远不止于这些。“实数”还只是一维的。我们可以设想 它们在数直线上向左方（即负数）和右方（即正数）伸展。当数学 家们凭借我们所称的“复数”（见第5章）而勇闯二维世界时，一次 伟大的飞跃来临了。它们在解方程和提供新的分析理论等方面为数 学家带来了更强的力量。今天，“复数”对于诸如电和磁等现象的研 究可谓至关重要。 于是，我们有了很多种类型的数，但是它们要延展到哪里才会 是尽头？自古以来，数学家便注定要与无穷这一主题进行较量。自 亚里士多德以来，人们就认为“潜无穷”是存在的——这是一种永 远不可能到达的无穷。但是到了19世纪，格奥尔格•康托尔引入了 另一种无穷的观念，使得我们有可能去讨论很多的无穷（见第6章）。 几何、代数与数学中的变革 两千多年以来，几何学一直受控于古希腊人那似乎是无可抗拒 的权威之下，直至今天，学生在校园中所接受的多种规则也是由他 们制定的。特别是欧几里得，他依靠自己缜密的思维能力建立了一 套呈现为如经典般真理的几何学知识系统。但是随着时间流逝，欧 1 数学的意义是什么？——关于目标和前景的介绍 6 氏几何学逐渐暴露出不足，人们最终明白，还存在着其他有效的几 何学可以用来处理二维、三维甚至更高维度的现象（见第7章），并 产生了“流形”的概念——这种形状的局部和整体具有不同性质的 几何学（见第17章）。这些几何学甚至比欧氏几何更有资格宣称是“宇 宙的几何学”，那可是一个深受物理学家关注的主题。 物理学家利用几何学去追索事物和宇宙的奥秘，生物学家和医 学研究者则采纳了另一种类型的几何学，“纽结理论”，以便理解 DNA的拆解和分析——这项实践引发了关于DNA检测的争议，并且 在人类身份识别与案件侦破等问题中产生了众多复杂而又难以预料 的后果。总而言之，数学家为科学家提供了不同的几何学，在这个 工具箱中，科学家们可以选择看起来最适合于处理当前工作的工具。 将几何学转译为代数的语言是一个重要的转折点，这项发展应 归功于17世纪的笛卡儿。在20世纪，对称的几何学也化身为代数学。 对称性是一种难以描述的性质，在数学中（以及在其他很多领域中） 经常被用来定义美（见第15章），现在我们可以用数学的“群论”来 把握它了。群的概念在近世代数中处于核心地位，它使得对称性可 以在微观尺度上进行考察（见第18章）。在一项可以追溯至19世纪的 宏大研究项目中，数学家们最终于1981年完成了有限单群的分类。 在这个“巨型定理”中，人们创造出一幅关于群的地图，所有的群 都被划分到各族之中，此外还有26个散在单群——其中最大的一个 包含大约8×1053个元素，也就是8后面接着53个0。现在群论在理论 物理学中占据着重要的地位，因为空间的变换就构成了群；在化学 和晶体学中也是如此，因为在这里对称性出场了。 在一个代数问题中“求出x的值”，这对于每个受过基本教育的 数学界人士来说都是非常熟悉的。这类“逆”问题是数学所擅长的 领域，其应用颇为广阔。在这里，我们经常需要求一个“未知量”， 1 数学的意义是什么？——关于目标和前景的介绍 7 但是最初我们所得到的只是一个关系或者是关于这个未知量的一个 方程。比方说，已知将一个正方形的边长增加3米所得到的面积为400 平方米，作为一个逆问题，我们就能够计算出最初那个区域的未知 边长x。利用代数知识将方程(x  3)2  400“展开”，即可得到x＝17。 当数学界的前辈们的研究成果为我们提供了一系列公式来完成这些 工作时，我们也就乐得走捷径（见第11章）。 向太空发射火箭，就要用到“微分”方程，而这意味着“微积 分”的使用（见第8章），这种方法的典型应用就是速率和加速度的 测定。有各种特定类型的微分方程，都有已发展成熟的理论支撑， 但是也存在着很多没有精确解的“一次性”①方程。庞加莱建立了微 分方程理论的一个新分支，这是一种“定性”理论，它关注的是解 的性质而不是如何求出具体的解。这一研究导致了“混沌”理论（见 第13章），从而为新的拓扑理论提出了一个截然不同的方向，彻底背 离了我们看待形状的方式（见第17章）。 新颖的和未知的数学 “拓扑学”对于只具有普通水平的非数学界人士来说可能不是那 么容易理解，但是另外两个相对晚些的发展成果可能更为人所熟知： 概率和统计。 数学中最出色的现代产物之一，概率理论（见第10章），使我们 能够用定量方式来把握不确定性。17世纪时，娱乐性的数学以对赌 博问题的分析为我们开启了这一理论，而现在，这个理论逐渐成熟 并发展出严谨的微积分方法，从而成为风险分析的核心基础。统计 ① 原文为“one-off”，指“一次性的”。这里的意思可能是说，无法给出公式解 法的方程只能求出数值解，也就是每次针对具体数据只能求出一个解，而不 是像公式解法那样，一个公式就给出了一大类方程的解。——译者注 1 数学的意义是什么？——关于目标和前景的介绍 8 学是与概率相关的一个领域（见第9章），它为如何恰当地处理数据 提供了理论，也为进一步实验提供了背景。在某种意义上讲，统计 学开端于农业实验，不过今天它已应用得极为广泛，以至于任一人 类活动，从政治到医学，几乎没有不用到统计学的。 对统计学及其他数学成果的运用，很自然就会使人想进行预言 活动，以便了解未来（见第16章）。人口统计学家想要对五年内的人 口数目做出合理的预言，证券交易人则试图根据统计学证据和预示 性信息来预测股票市场。如何做到这一点呢？这些都是很困难的问 题，如同预测天气一样，要依赖于至今仍无法求解的数学方程（见 第20章），而“蝴蝶效应”更使其难上加难（见第13章）。 因此，数学也有古老与新颖之分。为了避免认为已接近大功告 成而只会坐享其成，我们应该随时提醒自己仍未解决的数学问题是 存在的，而且数量很多（见第20章）。况且，若不这样做，数学便会 逐渐枯萎。有一些尚未解决的大问题长年困扰着思考者们，例如哥 德巴赫猜想和黎曼假设，这两个问题都是与质数有关的；不过还有 一些值得注意的新问题。当然，目前已有相当进展，其中一些足以 荣登头版。1994年，费马最后定理的解决使数学成为公众视野的焦 点（见第15章）。在此之前，数学与计算机联手解决了“四色定理” 问题（见第11章），以及最近，一位隐居世外的俄罗斯数学家震惊了 全世界，他证明了百年问题庞加莱猜想——而且他甚至不愿去领取 属于自己的一百万英镑奖金（第17章）。 那么，数学的意义究竟是什么？就某些方面而言这是个奇怪的 问题。我们承认它们可以仅仅是活动，是思维过程和对想象力的训 练，人们可以从中获得满足——人们总是沉溺于此，而且还将一直 沉溺下去，因为他们必须这样做，要是有人想寻找它们的用处，就 会发现它们的用处随处可见且不断激增。如果有人愿意去探索数学 1 数学的意义是什么？——关于目标和前景的介绍 9 对于我们关于世界、宇宙、自然以及人类交往的知识所贡献的一切， 那么也会得到同样的感受。在改变生活的各个方面，数学可以做到 和已经做到的事情是无可估量的。但归根结底，激励数学发展的是 人类最基本的、足以作为其特征的品质——永不满足的好奇心。 2 数，从何而来？——从骨头上的刻痕到十六进制 10 2 数，从何而来？ ——从骨头上的刻痕到十六进制 日常生活中，我们和数密切相关。早上一醒来，我们便用 朦胧的睡眼去关注钟面上的一圈数字，当然，更为常见的 是数字闹钟上的闪烁符号；我们可能要乘坐134路公共汽车赶往大学， 或者是追赶前往帕丁顿的08:32的列车去上班；我们要数好零钱去买午 餐，我们要查看记事簿上的日期，我们要按动移动电话上的按钮；在 一天快要结束时，我们会漫无目的地上下滚动那控制数字电视频道的 令人眼花缭乱的箭头，直到我们最终上床睡觉时，还要最后再看一眼 时间。数在我们的生活中是那样地根深蒂固，我们又是如此地沉浸于 数的世界中，无法看清这个万能工具的庐山真面目。那么，它们究竟 从何而来呢？ 当然，我们所遇到的很多数只是单纯的名称或标签。理论上 讲，用数以外的方式也能使我们搞清楚公交路线。著名的亨氏“57 变”①和杰克•丹尼的“Old No.7”②巧妙地暗示着一系列具有微妙 ① 1896年，亨氏提出了一个非常简短但极具吸引力的销售广告——“57变”，将当 时它的60多种产品归为57类。这“57变”是指亨氏公司在一年52周内可以为顾 客提供不同的食品，加上圣诞节、感恩节、新年、独立日和复活节5个节日的 食品，顾客在一年中可以享用57种全新的佐餐食品。——编者注 ② 杰克•丹尼（Jack Daniels）是世界十大名酒之一，杰克•丹尼酒厂1866年诞 生于美国田纳西州，是美国第一间注册的蒸馏酒厂。该厂生产的威士忌酒瓶 上标有“Old No.7”的字样，但对于它的具体含义却众说纷纭，其真相始终 都是不解之谜。——编者注 在 2 数，从何而来？——从骨头上的刻痕到十六进制 11 差异的罐头食品和威士忌，但它们也还是人造标签——商标。即使 是这些商标，它们的有效性也要依赖于人类社会为了将物体排序（第 一，第二等）和计数而建立起来的数字系统。 今天，人类几乎已是普遍地采用由0到9这10个符号构成的同一 数字系统来进行计数和排序。这些符号组合起来便能力非凡，足以 表示从星系之间的辽阔距离到一个原子核的半径，而且可以用不 同方式去表示它们。非专业人士可能会将地球到太阳的距离写成 93 000 000或是九千三百万英里，而一个数学家或科学家则更欣赏 9.3×107（即9.3乘以10的7次方）的简洁精巧。要描述一米的一千分 之一，我们有3种方法：0.001米，1毫米和103（即10的3次方）米， 但一个原子核的微小直径，则最好还是表示为1015米。 尽管那10个符号是如此精巧而威力无比，它们却绝对不是理 所当然的，在人类发明数系的过程中，它们既不是开始，也不是 结束。 最早的计数方法 研究人员已经发现了可以追溯至3万年前的物证来证明数字的 早期记录形式——“计数棒”，即带 有表明数量的标记的木棍。在非洲 和东欧，用于记录数字的有凹痕的 骨头进一步证明人们曾从事过计数活动。在13世纪的英格兰，征收 税款时仍然要使用计数棒，更令人惊讶的是，这种传统方法一直持 续到19世纪20年代才被纸质记录所取代。直到今天，当我们要记录 持续增大的数量时，比如比赛中的得分或者是统计调查中收集的数 据，计数标记仍然是有作用的。还有一种类似的方法，每计数到5 就画一个像是篱笆墙的记号，它可能有着极为悠久的历史。 画篱笆墙的计数系统 2 数，从何而来？——从骨头上的刻痕到十六进制 12 全世界都可以看到标记方法的使 用。比如一种来自南美洲的方法，也是采 用五条线，不过画出的是不同的图形。 在澳大利亚土著居民的原始计数系 统中，数量超过小额数字后便混为一谈。在塔斯马尼亚，人们使用 一种可以翻译为“一个”、“两个”和“多个”的计数系统。而在大 陆地区的昆士兰州，曾使用一种包括“一个”、“两个”、“一个和两 个”、“两倍的两个”和“多个”的计数系统。 巴比伦人和埃及人 一种真正意义上的数字系统在“文明的发源地”（中东地区） 出现了。巴比伦文明在美索不达米亚地区繁荣发展起来，这一地区 位于底格里斯河和幼发拉底河流域，是今天伊拉克的一部分，它的 首都巴比伦坐落在今天巴格达城以南80千米处。在公元前3000年， 古巴比伦人使用一种围绕数字60而建立的数字系统。我们今天的文 化生活中还保持着它的残留痕迹，比如在时间的度量中一分钟有60 秒，一小时有60分钟；另外由于巴比伦人将数学应用于他们的天文 学中，因此一个完整圆周的度数也为360。基于数字60而建立的数字 系统在数学方面是有优点的，比如，60能够 被多达11个比自己小的数整除，即1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20和30，对处理数量分配问题具 有明显优势。 数字1~60只需用两种符号即可表示出 来，这两种符号很容易刻在用来记录的泥板 上：它们是一条竖线和一个楔形符号。数字1 用竖线符号表示，2~59则分别用两种符号的不同组合形式来表示。 一种南美的计数法 两个巴比伦数字符号 巴比伦数字符号中的数字23 2 数，从何而来？——从骨头上的刻痕到十六进制 13 巴比伦人从左到右阅读文字，他们的数字也是根据在一行中的相对 位置来确定的，也就是说，和今天的数字体系是一样的。数到60后， 他们便重新开始，用一道竖线符号来表示60，就像写1时那样，因此 只有结合上下文才能解释其实际含义，比如要度量的对象是角，那 就更可能是60度而不大可能是1度。他们没有相当于零的符号。 古埃及人建立了一种完全不同又非常复杂的数字系统，并且充 分地呈现于建筑金字塔这一超凡的实践活动之中——这一壮举需要 三维几何的知识和相当精确的度量水平。这一系统大约在公元前 2700年左右出现，是以10为基数的。对于数字1~9，他们使用竖线计 数符号，接着对数字10和100赋予两个不同的符号。与巴比伦人不同， 埃及人是从右到左书写的。表示较大数的符号要更繁复一些，例如， 他们用小鸟符号来表示数字100 000。 埃及人的数学主要是与实际事 务相联系的，但是他们也掌握某些 精妙的算术技巧。他们做乘法的方 法是很特别的。在我们现代知识系 统中，心算乘法需要熟悉乘法表， 我们往往是在学校中借助机械记忆 的方式而掌握的。但是，生活在古 埃及时代的孩子们实际上只需要乘以二的乘法表，因为他们做乘法 的方法需要使用“算盘”①。 吠陀雅利安人 让我们继续东行，在公元前二千年时，吠陀雅利安文明从中亚 ① 根据古希腊历史学家希罗多德的报道，古埃及人是在圆盘上用小石子进行演 算操作的。——译者注 表示10和100的古埃及数字符号 古埃及符号系统中的数字234 2 数，从何而来？——从骨头上的刻痕到十六进制 14 扩展到印度的印度河谷，关于它所使用的算术方法的记录在大约公 元前1000年就出现了。在名为《吠陀》的古印度文献中包含着诗歌、 文学和古训等内容，其中可以看到这种文明的19条数学“箴言”，或 者说是文字公式。这些箴言为处理一系列算术问题提供了巧妙解法， 有的还有多种解法。例如，其中一条“竖直与交叉”箴言是关于整 数乘法的——在现代数字系统中这需要一段冗长的心算过程。它是 通过一系列乘法和加法过程来实现的。比如我们想要用13乘以24（假 设我们使用熟悉的符号），首先画一个网格，上面写13，下面写24。 吠陀雅利安式网格 将“竖直”数字相乘，再排列在一起，得到数212：即，(1×2) & (3×4)→2 & 12，记作212。接着将对角线上的数“交叉”相乘并加 在一起，所得结果乘以10：即，(1×4)＋(2×3)→4＋6＝10，乘以10 得100。 现在，将212和100加起来，就得到正确结果312。这种方法看起 来像是魔术一样，而它的正确性就在于如下原理：要将两个数相乘， 比如说ab×cd，实际上就是进行乘法(10a＋b)×(10c＋d)。 零的出现 零是数学符号中的后来者。它有两种主要功能，一是作为占位 符号而出现，例如可以用来区分数字27和207。无论是巴比伦人、埃 及人、希腊人还是罗马人都没有相当于零的符号——他们没有表示 “没有”的符号。零的第二个功能是作为一个真正的数，在这个意义 2 数，从何而来？——从骨头上的刻痕到十六进制 15 上它的起源可以追溯到印度数学家婆罗摩笈多，他在大约公元600 年时尝试将零引入了数字系统中。 零的拉丁名称（cifra）逐渐演变为zefro，在意大利文中就变为 zero。法语中的“chiffre”（即“zero”）译为英文时变成“cipher”， 这个词今天已不常用。在英语中我们用“nought”（即“无”）来表 示零的意思，它来自于“nothing”这个词。从数学角度来讲，“无” 其实是一个错误的称呼，因为以为数0就是什么都没有本身就是错误 的。零无疑是有意义的，这个符号在我们今天的观念中发挥出真正 的巨大力量。正如婆罗摩笈多所认识到的那样，在数学意义上的困 难是，如何协调新来到的数字0与数系中其他成员之间的关系。 基数与二十进制的残留痕迹 数学家们会谈论在不同文化的计数系统中具有基础性地位的 “基”。我们可以将它们理解为计数系统的核心单位或者是搭建系统 所用的砖石。今天我们所用数系的基是10，即十进制系统，呈现为 0~9这10个符号。但是历史已经见证，不同文化为了让数字适应其不 同需要而分别采用过2, 3, 4, 5, 12, 20作为基，当然，还要算上巴比伦 人使用过的60。即使到了今天，在我们的数系中依然可以看到继承 不同文明之成果的痕迹，证据就是我们描述数时所用的语言。例如， 在德语和英语中，“eleven”（德语为elf）和“twelve”（德语为zwölf） 这两个词，从语言学的角度来看显得很奇怪，它们在10以前的各个 数字和紧随其后由“ten”衍生出来的表示“十几”的数词之间形成 了一个断层①。它们是以12为基数之数系的残留痕迹，实际上就和在 使用十进制之前以12便士为1先令是一个道理。 ① 从形式上看，从“十三”（thirteen）到“十九”（nineteen）的英文词的构词法 是一致的，都是将个位数字与十位数字连接起来，只有一点细微变化。 相比 之下，“十一”和“十二”这两个词的形式显得与众不同。——译者注 2 数，从何而来？——从骨头上的刻痕到十六进制 16 “造物主的手法神秘莫 测。但是他使用以十为 基的数字系统，而且喜 欢凑整数。” 斯科特•亚当斯，美国漫画家 在今天的危地马拉和墨西哥东南部地区，在被征服之前的玛雅 文明中，曾采用过一种以20为基的数系，我们称其为“二十进制” 系统。（有趣的是，玛雅人也是最早拥有以位值制为基础且包含零的 概念的数字符号系统的民族之一。）这种数系的来源常常被归因于我 们的10个手指和10个脚趾，很多文化中都包含着以20为基的数系的 残留痕迹。在英语中（以及在法语和德语 的相应词汇中），表示“十几”的数词序 列总会在十九停下来，以便为特殊的数词 “二十”让路。 20这个量还以其他很多种方式出现 在我们的语言和生活之中。它有一个同义 词是“score”，说到这个词，大家可能马上会想到英国国教祈祷书中 将寿命70年称为“3个score又10年”。英制度量衡中包含英担（cwt） 这个单位，20个英担就是一吨；在使用十进制英镑货币单位（1971 年）之前，1英镑等于20先令。法语中也残留着曾使用二十进制系统 的痕迹，有一个不是很常用的词，表示八十——quatre vingt（四个 二十）。 十进制 尽管有各种关于其他数系的残留痕迹，今天这个世界统一使用 的还是以十为基的“十进制”系统。 从很多角度来讲，这对于人类是很自然的选择：我们有10个可 以用来计数的手指。古罗马人使用以10为基的系统进行整数计数， 不过对于比较简单的计算，他们使用以12为基的分数系统，因为12 可以被2, 3, 4和6整除。（某些历史学家认为，之所以用12作为基，是 因为我们的每根手指上有3个关节，要是不包括拇指的话，每只手上 2 数，从何而来？——从骨头上的刻痕到十六进制 17 就有12个关节。）事实上，罗马人对于数学发展的贡献可谓微乎其微。 但拉丁语是很多种现代欧洲语言的根源，因此在很大程度上讲，我 们用来表示数的词是从拉丁文来的；而罗马人的数字书写系统，即 I, II, III, IV, V, …, X等，则与我们所使用的“正常”数字平行地持续 发展，特别是在记录日期的时候。 今天我们使用的数字符号最早是由婆罗摩笈多时代的印度数学 家所使用，并由阿拉伯学者继承而来。随着阿拉伯旅者、商人和征 服者的足迹拓展到北非并进入伊比利亚半岛，这些符号也随之传播 开来。到12世纪时，阿拉伯人的数学知识也传播到西方来：9世纪数 学家花拉子密的《论用印度数字进行计算》以拉丁文译本的形式出 现，比萨的莱昂纳多（也称斐波那契）在他1202年出版的《计算之 书》中大力宣扬这种印度—阿拉伯计数系统。13世纪时，英国哲学 家、数学家和异端修道士罗吉尔•培根曾记录过这种符号。 罗吉尔•培根记录的数字符号（13世纪） 经过很少的一点改动后，到16世纪时，普遍使用的10个数字符 号就已和我们今天所用的非常相似，并且随着大批量印刷技术的出 现而获得了更高的标准化程度。 二进制 尽管事实已经证明十进制系统是强有力的也是善于适应变化 的，但现代计算机技术却还是形成了一种不同类型的数字系统。由 于计算机中的每个开关处于或“开”或“关”的状态，计算机技术 就建立在识别这两种状态的基础上。由此产生出二进制系统，它的 2 数，从何而来？——从骨头上的刻痕到十六进制 18 字母表中只有0和1两种符号。由于我们的头脑并不会本能地用二进 制数进行思考，因此我们需要一种将十进制数与二进制数进行相互 转化的方法。 在十进制系统中，我们使用10的幂次 来表示数，例如数312是由3个100、1个10 和2个1组成的。而对于二进制系统，我们 必须用2的幂次来表示数，也就是每次翻一 倍：1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512等。 因此，用划分的方法可以将数312转化 为二进制形式，首先找到不超过312的2的 最高次幂，即256，接着逐次向下。由此我 们得到312＝256＋32＋16＋8。但是接下 来，要得到二进制的数，我们还必须考虑到那些在上述表达式中没 有出现的2的幂次，在出现2的幂次的位置放一个“1”，没出现的位 置放一个“0”。补充完整后，得到： 312＝1×256＋0×128＋0×64＋1×32＋1×16＋ 1×8＋0×4＋0×2＋0×1 换言之，十进制数312变为二进制数100 111 000，或者用脚标数 字来指明所选择的基数： 31210＝100 111 0002 不过，还有一种由两步构成的技巧可以将十进制数转化为二进 制数，它类似于古埃及人在做乘法时所使用的加倍方法。首先，将 该数字置于表格的最右端，接着将它不断地除以2，直到结果是1为止， 在整个过程中不用考虑任何余数。还以312为例进行说明，到某一步 骤时我们要用39除以2；记录答案19，而忽略余数1。由此得到表格中 十进制数 二进制数 0 0 1 1 2 10 3 11 4 100 5 101 6 110 7 111 8 1000 9 1001 十进制—二进制转换表 2 数，从何而来？——从骨头上的刻痕到十六进制 19 上面一行的内容。其次，在表格的下面一行中，我们记录上面一行 数字是奇数还是偶数，每个奇数记为“1”，每个偶数记为“0”。下面 一行中的数字序列构成了我们需要的二进制数。 十进制数 1 2 4 9 19 39 78 156 312 二进制数 1 0 0 1 1 1 0 0 0 求二进制数的除法表格 八进制与更高进制 很自然地，二进制数带来的一个问题是它们会形成由1和0组成 的极长的数字序列，从而耗光宝贵的计算机内存。从理论上讲，我 们可以采用希望使用的任意基，因此，缩短二进制数的一种方法就 是用基为8的算术系统对它们进行转化。在这种“八进制”算术中， 我们的字符集中需要有8种符号：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6和7。 继八进制之后，下一个能够进一步将较大的二进制数压缩为简 短表示的基是16，即采用十六进制系统。对于这种系统，一种便利 的字符集选取方式是采用0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E和F这 16个符号，其中A对应10，B对应11，C对应12，依次类推。要将一 个二进制数转化为十六进制，只需将每四位划为一组（从右边开始）， 例如： 31210＝(0001)(0011)(1000)2 再次参考刚才那个十进制—二进制转换表（忽略多余的0），我们 得到结果： 31210＝13816 不过，还有可能存在着完全由字母构成的十六进制数，例如， 十进制数2748用十六进制表示为： 2 数，从何而来？——从骨头上的刻痕到十六进制 20 274810＝10×162＋11×16＋12＝ABC16 关于十六进制的故事还没有结束。计算机的本领还在不断发展， 而现在我们又开始熟悉以32和64为基的系统了。 数的漫长旅程 从最初刻在骨头上的标记到十六进制乃至更多发展，数所经历 的这段旅程可谓漫长。在旅途的第一阶段，前进动力是人类社会的 实际需求。但古人所关心的又不仅仅是数的用处。大约在公元前500 年时，希腊古典时期①的公民们在他们称为逻辑的公共平台上使用自 己的数系，诸如毕达哥拉斯和柏拉图等思想家已经致力于建立算术 知识，即数论。数学独立的魅力和美从古代便已显现无遗。 2500年后，印度—阿拉伯十进制数系已证明其最为持久之特性， 并为满足整个世界的数学、科学和日常需求而广泛传播。但数的历 史还揭示出，在不同时代与不同地域中，各个文明是如何坚持用自 己的方法处理数量和排序问题的。我们所拥有的数学遗产，包括数 学的语言，见证了过去所施与我们的恩惠（巴比伦人的六十进制、 罗马数系及二十进制）都对我们今天的数字词汇表有贡献。这是一 笔丰厚而又多元化的财富。__