小波十讲——前言

小波是应用数学领域较新的发展成果. 这个名字出现在大约十年前①[Morlet、Arens、Fourgeau 和Giard (1982)，Morlet (1983)，Grossmann 和Morlet (1984)]. 在过去十年里，人们对小波的兴趣呈爆炸式增长. 小波能取得目前的成功，原因有多个. 一方面，可以认为小波综合了过去二三十年里在多个领域中发展起来的思想，比如，工程学的子带编码、物理学中的相干态和重正化群，还有纯粹数学中对Calder¶on{Zygmund 算子的研究. 正是因为小波拥有这种横跨多个学科的起源，所以吸引了许多不同背景的科学家和工程师. 另一方面，小波是一种相当简单的数学工具，却有着多种多样的应用可能. 它们已经在信号分析[声音、图像，早期的参考资料包括Kronland-Martinet、Morlet 和Grossmann (1987)、Mallat (1989b) (1989c)撰写的一些文献，后面将给出近期的一些参考文献] 和数值分析[用于积分变换的快速算法，见Beylkin、Coifman 和Rokhlin (1991)] 领域获得了激动人心的应用，许多其他应用也正在研究之中. 这种广泛适用性也增加了人们对它的关注. ① 这篇前言的写作日期是1992 年3 月. || 编者注 本书包括了我于1990 年6 月在CBMS 小波会议上作为主讲人所做的十次讲座（该会议由马萨诸塞大学洛厄尔分校数学系主办）. 根据CMBS 会议的惯例，其他演讲者（G. Battle、G. Beylkin、C. Chui、A. Cohen、R. Coifman、K. GrÄochenig、J.Liandrat、S. Mallat、B. Torr¶esani 和A. Willsky）报告了他们在小波领域的相关工作. 此外还组织了三场研讨会，分别讨论了小波在物理学和反演问题方面的应用（由B. DeFacio 主持），在群论和调合分析方面的应用（H. Feichtinger）以及在信号分析方面的应用（M. Vetterli）. 听众中既有活跃在小波领域的研究人员，也有其他一些对小波知之甚少但希望做更多了解的科学家和工程师，且以后者所占比例最大. 我认为我有义务向这部分听众讲授小波，这些内容为其他演讲者和我自己展示的一些近期成果奠定了坚实的基础. 因此，在我的讲座中大约有三分之二是“基本小波理论”，另外三分之一讨论最近的且尚未公布的工作. 这种划分也体现在本书中. 因此，我认为本书可以用作有关小波的导论性图书，既可供个人阅读，也可作为专题讨论会材料或研究生教材. 本书没有包含这次CBMS 会议上的其他讲座和研讨会论文，因此，相较于这次CBMS 会议，本书更多地介绍我自己的工作. 书中的许多地方都给出了一些参考文献，供深入阅读或详细解释特定的应用，作为对正文的补充. 其他已经出版的小波书籍有：Wavelets and Time Frequency Methods[Combes、Grossmann 和Tchamitchian (1987)]，其中包括了1987 年12 月法国马赛国际小波会议的论文集；Ondelettes [Y. Meyer (1990)，法文版；英译版预计很快发行]，其中对小波的数学处理要比本书讲座内容详尽得多，但对其他领域较少谈及；Les Ondelettes en 1989 [P. G. Lemari¶e 编(1990)] 是1989 年春天在巴黎第十一大学所做的演讲集；An Introduction to Wavelets [C. K. Chui (1992b)] 从逼近理论的角度介绍了小波. 1989 年5 月同样是在马赛举办的国际小波会议的论文集也即将出版[Meyer (1992)]. 此外，此次CBMS 会议的许多其他投稿者，以及一些没有与会的小波研究人员都受邀撰写了有关其小波工作的文章，汇编而成的文集Waveletsand their Applications [Ruskai 等(1992)] 可以看作是本书的姊妹篇. 另一小波文集是Wavelets: A Tutorial in Theory and Applications [C. K. Chui 编(1992c)]. 此外，我还知道其他一些小波文集正在准备之中（J. Benedetto 和M. Frazier 编，另一本由M. Barlaud 编著），还有M. Holschneider 的专论，1992 年3 月有一份IEEE Trans. Inform. Theory 小波特刊，1992 年晚些时候将会有另一份ConstructiveApproximation Theory 小波特刊，1993 年将会有一份IEEE Trans. Sign. Proc 小波特刊. 此外，一些近期出版的书籍中也包含了有关小波的章节. 比如，MultirateSystems and Filter Banks [P. P. Vaidyanathan (1992)]，Quantum Physics, Relativityand Complex Spacetime: Towards a New Synthesis [G. Kaiser (1990)]. 对本书感兴趣的读者会发现，这些书籍和特刊对于本书未能完整给出的许多细节和内容都非常有用. 此外，由这些参考文献可以看出小波仍在快速发展之中. 本书大体沿循了讲座的路线：全书共分10 章，每章对应十次讲座中的一次，各章顺序也与讲座顺序一致. 第1 章择要概述小波变换的不同方面，勾画了一幅庞大画面的轮廓，后续各章则向其中添加更多细节. 从第2 章开始，依次介绍连续小波变换（第2 章，其中对带限函数和香农定理有简要回顾）、离散但冗余的小波变换（框架，第3 章）、对时频密度及正交基存在性的一般讨论（第4 章）. 第2 章至第4 章的许多结果均可同时针对加窗傅里叶变换和小波变换得出，本书并列给出两种情况，同时指出它们的相似与不同之处. 其余各章专门讨论小波的正交基：构建小波正交基的第一个一般策略与多分辨率分析（第5 章），紧支撑小波正交基和它们与子带编码的联系（第6 章），这些小波基的正则估计（第7 章），紧支撑小波基的对称性（第8 章）. 第9 章表明，对于许多不是特别适合采用傅里叶方法的泛函空间，这些正交基是“很好的”基. 这一章是全书中数学性最强的一章，其中大多数材料都与其他各章讨论的应用没有联系，因此，对这部分小波理论不感兴趣的读者可以直接跳过它. 之所以要包含这一章，有如下几个原因：证明过程中使用的估计方法对于调和分析非常重要，David 和Journ¶e 在证明T(1) 定理中使用的类似（但要更复杂一些的）估计已经成为Beylkin、Coifman 和Rokhlin (1991) 工作中数值分析应用的基础. 此外，这一章介绍的Calder¶on{Zygmund 定理表明，远在小波出现之前，使用不同尺度的方法（这是小波的先驱工作之一）就已经在调和分析中得到了应用. 最后，第10 章概要介绍了几种构建正交小波基的扩展：扩展到多维，扩展到2 之外（甚至是非整数）的伸缩因子（可能实现更好的频率局域化），扩展到基于有限区间（而不是整条数轴）的小波. 每一章的最后都是一个“附注”小节，其中的内容均带有标号，便于在该章正文论述中引用. 这些内容包括：更多的参考文献，为使正文保持流畅而放在此处的附加证明、注释等. 本书是一本数学书，给出并证明了许多定理. 它要求读者具有一定的数学背景知识. 具体来说，我假定读者熟悉傅里叶变换和傅里叶级数的基本特性. 书中还用到了测度与积分理论中的一些基本定理（法图引理、控制收敛定理、富比尼定理，这些内容可以在任何一本优秀的实分析书中找到）. 对于某些章节，熟悉基本的希尔伯特空间方法也是有帮助的. 在预备知识中列出了书中使用的基本概念和定理.不过，尚未掌握所有这些预备知识的读者也不必沮丧，本书大部分内容只需要傅里叶分析的基本概念就能理解. 此外，在本书的几乎所有证明中，都尽力给出最为详细的步骤，可能会让一些非常精通数学的读者感到繁琐. 我希望这些讲义能够吸引数学家之外的读者. 为此，我经常回避“定义| 引理| 命题| 定理| 推论”这样的顺序，在许多地方尝试给出更直观的表述，尽管这样可能会使讲述内容不够简练. 这一跨越多个学科的主题为我的学术生涯带来了很多激情，希望能与读者分享其中一些. 我希望借此机会向众多促成召开洛厄尔会议的人们表示感谢：CBMS 组委会和马萨诸塞大学洛厄尔分校数学系，特别要感谢G. Kaiser 教授和M. B. Ruskai 教授. 此次会议取得了很大的成功，与会人数出乎意料地远超往届，这主要归功于其非常高效的组织. 作为一位资深的会议组织者，I. M. James (1991) 说：“每次会议都主要归功于某一个人的努力，他几乎完成了所有的工作.”对于小波CBMS 1990会议来说，这个人就是Mary Beth Ruskai. 我要特别感谢她首先提议举办这次大会，以其出色的组织方式将我的书面工作减至最少，同时让我能及时了解所有进展情况，还要感谢她担任组织骨干，这也绝不是一项简单的任务. 在此次会议之前，我有机会在密歇根大学安娜堡分校数学系的一门研究生课程上讲授本书的大部分内容. 这次为时一学期的访问受到了美国国家科学基金会女性客座教席和密歇根大学的联合支持，在此感谢这两家机构的支持. 我还要感谢所有参与该课程并提供反馈和有益建议的教职员工和学生们. 本书手稿由Martina Sharp 录入，感谢她的耐心、勤奋和出色工作. 如果没有她，我甚至不会尝试编写本书. 感谢Je® Lagarias的编辑评论. 感谢所有帮助我在毛校样中查出排印错误的人们，特别感谢PascalAuscher、Gerry Kaiser、Ming-Jun Lai 和Martin Vetterli. 仍然残留的错误当然都是我的责任. 我还要感谢Jim Driscoll 和Sharon Murrel 帮助我准备著者索引. 最后，我要感谢我的丈夫Robert Calderbank，他非常支持并践行我们两人的家庭事业两不误做法，当然，这偶尔也会意味着他和我会少证明一些定理. Ingrid Daubechies 罗格斯大学 AT&T 贝尔实验室 在后续印刷中，已经纠正了一些小错误和许多印刷错误. 感谢所有帮我找出这些错误的人. 我还更新了一些内容：之前尚未发表的一些参考文献已经发表，一些原来被列为待解决的问题也已经解决. 我没有尝试去包含自第一次印刷之后又出现的大量其他重要小波论文. 无论如何，参考文献列表没有也不准备列出有关这一主题的所有参考文献.① ① 这本中文版译自原书的第9 次印刷版本. || 编者注